Nội dung bài viết
Phương pháp hệ số bất định được sử dụng nhiều trong chứng minh bất đẳng đẳng thức. Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu rõ về phương pháp này.
Bài viết này Trung tâm Gia sư Thành Phố Hà Nội cùng những em đi tìm hiểu và khám phá cách vận dụng chiêu thức thông số bất định vào làm một bài toán chứng tỏ BĐT qua những ví dụ .
1. Ví dụ mở đầu
| Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{\text{2}\left( {{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{3}\ge 5$ |
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng tỏ được viết lại thành
$ \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5$
Ta chứng tỏ bất đẳng thức sau đâyUSD \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 7 } { 3 } – \ frac { 2 a } { 3 } $Thật vậy, bất đẳng thức trên tương tự vớiUSD \ displaystyle \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 2 { { a } ^ { 2 } } + 6 a + 3 \ right ) } { 3 { { a } ^ { 2 } } } \ ge 0 USDHiển nhiên đúng với a là số thực dương .Áp dụng tương tự như ta được $ \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { b } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 7 } { 3 } – \ frac { 2 b } { 3 } ; \, \, \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { c } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 7 } { 3 } – \ frac { 2 c } { 3 } $Cộng theo vế những bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } + \ frac { 2 { { b } ^ { 2 } } } { 3 } + \ frac { 2 { { c } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge 7 – \ frac { 2 \ left ( a + b + c \ right ) } { 3 } = 5 USDVậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi USD a = b = c = 1 USD .Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách lý giải cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách lý giải cho những bài toán sau này của tất cả chúng ta .Bài toán trên những biến trong cả hai vế và điều kiện kèm theo đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng tỏ được đơn thuần hơn nếu hoàn toàn có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng tỏ bất đẳng thức sauUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 5 } { 3 } \ Leftrightarrow \ frac { \ left ( a-1 \ right ) \ left ( a + 1 \ right ) \ left ( 2 { { a } ^ { 2 } } – 3 \ right ) } { 3 { { a } ^ { 2 } } } \ ge 0 USDTuy nhiên nhìn nhận trên không trọn vẹn đúng với a thực dương .Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện kèm theo .Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối tâm lý đơn thuần bắt đầu nữa mà sẽ đi tìm thông số để bất đẳng thức sau là đúngUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 5 } { 3 } + ma + n \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ( 1 \ right ) USDTrong đó m và n là những thông số chưa xác lập .Thiết lập tựa như với những biến b và c ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { b } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 5 } { 3 } + mb + n ; \, \, \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { c } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 5 } { 3 } + mc + n USDCộng theo vế những bất đẳng thức trên ta cóUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } + 2 { { b } ^ { 2 } } + 2 { { c } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge 5 + m \ left ( a + b + c \ right ) + 3 n = 5 + 3 \ left ( m + n \ right ) USDNhư vậy ở đây 2 thông số m và n phải thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo $ \ displaystyle m + n = 0 \ Leftrightarrow n = – m USD. Thế vào ( 1 ) dẫn đếnUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 5 } { 3 } + m \ left ( a-1 \ right ) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ( 2 \ right ) USDĐến đây ta chỉ cần xác lập thông số duy nhất là m để bất đẳng thức ( 2 ) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại USD a = b = c = 1 $ nên ta cần xác lập m sao choUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 5 } { 3 } + m \ left ( a-1 \ right ) \ Leftrightarrow \ left ( a-1 \ right ) \ left ( \ frac { \ left ( a + 1 \ right ) \ left ( 2 { { a } ^ { 2 } } – 3 \ right ) } { 3 { { a } ^ { 2 } } } – m \ right ) \ ge 0 USDKhi cho USD a = 1 $ thì ta có $ \ displaystyle \ frac { \ left ( a + 1 \ right ) \ left ( 2 { { a } ^ { 2 } } – 3 \ right ) } { 3 { { a } ^ { 2 } } } = – \ frac { 2 } { 3 } $ từ đó ta Dự kiến rằng $ \ displaystyle m = – \ frac { 2 } { 3 } $ để tạo thành đại lượng bình phương $ { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } $ trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng tỏ bất đẳng thức phụUSD \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { a } ^ { 2 } } } { 3 } \ ge \ frac { 7 } { 3 } – \ frac { 2 a } { 3 } $
| Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng:$ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}+\frac{5{{b}^{3}}-{{c}^{3}}}{bc+3{{b}^{2}}}+\frac{5{{c}^{3}}-{{a}^{3}}}{ca+3{{c}^{2}}}\le 3$ |
Ta đi chứng tỏ bất đẳng thức $ \ frac { 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } } { ab + 3 { { a } ^ { 2 } } } \ le 2 a – b USDThật vậy, thuận tiện chứng tỏ được $ { { a } ^ { 3 } } + { { b } ^ { 3 } } \ ge ab \ left ( a + b \ right ) USD, ta biến hóa tương tự bất đẳng thức bên như sauUSD \ begin { array } { l } \, \, \, \, \, \, \, { { a } ^ { 3 } } + { { b } ^ { 3 } } \ ge ab \ left ( a + b \ right ) \ Leftrightarrow 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } \ le 6 { { a } ^ { 3 } } – ab \ left ( a + b \ right ) \ \ \ Leftrightarrow 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } \ le a \ left ( 6 { { a } ^ { 2 } } – ab – { { b } ^ { 2 } } \ right ) \ Leftrightarrow 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } \ le a \ left ( 2 a – b \ right ) \ left ( 3 a + b \ right ) \ \ \ Leftrightarrow \ frac { 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } } { ab + 3 { { a } ^ { 2 } } } \ le 2 a – b \ end { array } $Hoàn toàn tựa như ta được $ \ frac { 5 { { b } ^ { 3 } } – { { c } ^ { 3 } } } { bc + 3 { { b } ^ { 2 } } } \ le 2 b – c ; \, \, \ frac { 5 { { c } ^ { 3 } } – { { a } ^ { 3 } } } { ca + 3 { { c } ^ { 2 } } } \ le 2 c – a USDCộng theo vế những bất đẳng thức trên ta được $ \ frac { 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } } { ab + 3 { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { 5 { { b } ^ { 3 } } – { { c } ^ { 3 } } } { bc + 3 { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { 5 { { c } ^ { 3 } } – { { a } ^ { 3 } } } { ca + 3 { { c } ^ { 2 } } } \ le a + b + c = 3 USDVậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Đẳng thức xẩy ra khi USD a = b = c = 1 USD .
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức $ \frac{5{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{ab+3{{a}^{2}}}\le ma+nb$ đúng, với $ m+n=1\Leftrightarrow n=1-m$.
Ta viết lại bất đẳng thức trên thànhUSD \ frac { \ frac { 5 { { a } ^ { 3 } } } { { { b } ^ { 3 } } } – 1 } { \ frac { a } { b } + \ frac { 3 { { a } ^ { 2 } } } { { { b } ^ { 2 } } } } \ le \ frac { ma } { b } + 1 – m \ Leftrightarrow \ frac { 5 { { t } ^ { 3 } } – 1 } { t + 3 { { t } ^ { 2 } } } \ le m \ left ( t-1 \ right ) + 1 USD với USD t = \ frac { a } { b } $Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại USD a = b = c USD tức là xẩy ra tại USD t = 1 USD, khi đó ta cần xác lập m sao choUSD \ frac { 5 { { t } ^ { 3 } } – 1 } { t + 3 { { t } ^ { 2 } } } \ le m \ left ( t-1 \ right ) + 1 \ Leftrightarrow \ left ( t-1 \ right ) \ left ( \ frac { 5 { { t } ^ { 2 } } + 2 t + 1 } { t + 3 { { t } ^ { 2 } } } – m \ right ) \ le 0 USDCho USD t = 1 $ thì ta được $ \ frac { 5 { { t } ^ { 2 } } + 2 t + 1 } { t + 3 { { t } ^ { 2 } } } = 2 USD nên ta chọn USD m = 2 USD và từ đó ta được USD n = – 1 USD. Khi này ta đi chứng tỏ bất đẳng thức $ \ frac { 5 { { a } ^ { 3 } } – { { b } ^ { 3 } } } { ab + 3 { { a } ^ { 2 } } } \ le 2 a – b USD .
Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique hay còn gọi là kỹ thuật hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó.
2. Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định
Có thể nói với giải pháp thông số bất định ta hoàn toàn có thể xử lý được một lớp những bất đẳng thức mà ở đó những biến độc lập với nhau. Dưới đây là một số ít bài toán vận dụng giải pháp thông số bất định .
| Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}+b+c}+\frac{1}{{{b}^{2}}+c+a}+\frac{1}{{{c}^{2}}+a+b}\le 1$ |
Lời giải
Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúngUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } + b + c } = \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } – a + 3 } \ le \ frac { 1 } { 3 } + m \ left ( a-1 \ right ) \ Leftrightarrow – \ frac { a \ left ( a-1 \ right ) } { 3 \ left ( { { a } ^ { 2 } } – a + 3 \ right ) } \ le m \ left ( a-1 \ right ) USDTương tự như trên ta Dự kiến rằng với $ \ displaystyle m = – \ frac { 1 } { 9 } $ thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậyUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } – a + 3 } \ le \ frac { 4 } { 9 } – \ frac { a } { 9 } \ Leftrightarrow 0 \ le \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 3 – a \ right ) } { 3 \ left ( { { a } ^ { 2 } } – a + 3 \ right ) } \ Leftrightarrow 0 \ le \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( b + c \ right ) } { 3 \ left ( { { a } ^ { 2 } } – a + 3 \ right ) } $Hoàn toàn tương tự như ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } – b + 3 } \ le \ frac { 4 } { 9 } – \ frac { b } { 9 } ; \, \, \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } – c + 3 } \ le \ frac { 4 } { 9 } – \ frac { c } { 9 } $Cộng theo về những bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } + b + c } + \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } + c + a } + \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } + a + b } \ le \ frac { 4 } { 3 } – \ frac { a + b + c } { 9 } = 1 USDVậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Dấu đẳng thức xẩy ra tại USD a = b = c = 1 USD .
| Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle 4\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)+5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 27$ |
Lời giải
Ta cần tìm thông số m sao choUSD \ displaystyle \ frac { 4 } { a } + 5 { { a } ^ { 2 } } \ ge 9 + m \ left ( { { a } ^ { 3 } } – 1 \ right ) \ Leftrightarrow \ frac { \ left ( a-1 \ right ) \ left ( 5 { { a } ^ { 2 } } + 5 a – 4 \ right ) } { a } \ ge m \ left ( a-1 \ right ) \ left ( { { a } ^ { 2 } } + a + 1 \ right ) USDTa thuận tiện nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD .Khi cho $ \ displaystyle a = 1 $ thì ta hoàn toàn có thể Dự kiến rằng $ \ displaystyle m = 2 USD. Ta sẽ chứng tỏ rằng với $ \ displaystyle m = 2 USD thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậyUSD \ displaystyle \ frac { 4 } { a } + 5 { { a } ^ { 2 } } \ ge 7 + 2 { { a } ^ { 3 } } \ Leftrightarrow \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( – 2 { { a } ^ { 2 } } + a + 4 \ right ) } { a } \ ge 0 USDDo $ \ displaystyle a \ le \ sqrt [ 3 ] { 3 } \ Rightarrow – 2 { { a } ^ { 2 } } + a + 4 \ ge 0 USD. Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng .Hoàn toàn tựa như ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 4 } { b } + 5 { { b } ^ { 2 } } \ ge 7 + 2 { { b } ^ { 3 } } ; \, \, \ frac { 4 } { c } + 5 { { c } ^ { 2 } } \ ge 7 + 2 { { c } ^ { 3 } } $Cộng theo vế những bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ displaystyle 4 \ left ( \ frac { 1 } { a } + \ frac { 1 } { b } + \ frac { 1 } { c } \ right ) + 5 \ left ( { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ right ) \ ge 21 + 2 \ left ( { { a } ^ { 3 } } + { { b } ^ { 3 } } + { { c } ^ { 3 } } \ right ) = 27 USDVậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD
| Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{4\left( a+b+c \right)}{3}\ge 7$ |
Lời giải
Ta cần tìm thông số m sao choUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { a } + \ frac { 4 a } { 3 } \ ge m \ left ( { { a } ^ { 2 } } – 1 \ right ) + \ frac { 7 } { 3 } \ Leftrightarrow 3 m { { a } ^ { 3 } } – 4 { { a } ^ { 2 } } + \ left ( 7-3 m \ right ) a-3 \ le 0 USDDự đoán là đẳng thức xẩy ra tại $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD, khi đó ta tìm được $ \ displaystyle m = \ frac { 1 } { 6 } USD. Như vậy ta đi chứng tỏ bất đẳng thứcUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { a } + \ frac { 4 a } { 3 } \ ge \ frac { 1 } { 6 } \ left ( { { a } ^ { 2 } } – 1 \ right ) + \ frac { 7 } { 3 } \ Leftrightarrow { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 6 – a \ right ) \ ge 0 USD
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì từ $ \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$ ta được $ \displaystyle 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
| Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $ \displaystyle a+b+c=3$ và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định. Chứng minh rằng:$ \sqrt{{{a}^{2}}+a-1}+\sqrt{{{b}^{2}}+b-1}+\sqrt{{{c}^{2}}+c-1}\le 3$ |
Lời giải
Biểu thức P. xác lập khi và chỉ khi $ \ displaystyle a, \, \, b, \, \, c \ ge \ frac { \ sqrt { 5 } – 1 } { 2 } USD. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD .Khi đó ta đi tìm m để bất đẳng thức sau đúngUSD \ displaystyle \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + a-1 } \ le ma – \ frac { 1 } { 2 } $Để ý đẳng thức xẩy ra tại $ \ displaystyle a = 1 $ khi đó ta tìm được $ \ displaystyle m = \ frac { 3 } { 2 } $, tức là ta cần phải chứng tỏ đượcUSD \ displaystyle \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + a-1 } \ le \ frac { 3 a – 1 } { 2 } $Thật vậy ta có $ \ displaystyle \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + a-1 } = \ sqrt { \ frac { { { \ left ( 3 a – 1 \ right ) } ^ { 2 } } – 5 { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 } } \ le \ sqrt { \ frac { { { \ left ( 3 a – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ frac { 3 a – 1 } { 2 } $Chứng minh tương tự như ta đượcUSD \ sqrt { { { b } ^ { 2 } } + b-1 } \ le \ frac { 3 b – 1 } { 2 } ; \, \, \, \ sqrt { { { c } ^ { 2 } } + c-1 } \ le \ frac { 3 c – 1 } { 2 } $Cộng theo vế những bất đẳng thức trên ta đượcVậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD .
| Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ \displaystyle a+b+c=3$. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}-a+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}-b+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}-c+3}\le 1$ |
Lời giải
Vì a, b, c là những số thực dương thỏa mãn nhu cầu $ \ displaystyle a + b + c = 3 USD. Do đó ta được $ \ displaystyle a, \, \, b, \, \, c \ in \ left ( 0 ; \, \, 3 \ right ) USD. Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD .Ta cần tìm m để bất đẳng thức sau đúngUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } – a + 3 } \ le ma + \ frac { 4 } { 9 } $Để ý là đẳng thức xẩy ra tại $ \ displaystyle a = 1 USD, khi đó ta tìm được $ \ displaystyle m = – \ frac { 1 } { 9 } $Khi đó ta đi chứng tỏ $ \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } – a + 3 } \ le – \ frac { a } { 9 } + \ frac { 4 } { 9 } $Biến đổi tương tự bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } – a + 3 } \ le \ frac { 4 – a } { 9 } \ Leftrightarrow \ left ( 4 – a \ right ) \ left ( { { a } ^ { 2 } } – a + 3 \ right ) \ ge 9 \ Leftrightarrow \ left ( a-3 \ right ) { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ ge 0 USDBất đẳng thức ở đầu cuối đúng vì $ \ displaystyle a \ in \ left ( 0 ; \, \, 3 \ right ) USD .Chứng minh tựa như ta được $ \ displaystyle \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } – b + 3 } \ le \ frac { 4 – b } { 9 } ; \, \, \, \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } – c + 3 } \ le \ frac { 4 – c } { 9 } $Cộng theo vế những bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 1 } { { { a } ^ { 2 } } – a + 3 } + \ frac { 1 } { { { b } ^ { 2 } } – b + 3 } + \ frac { 1 } { { { c } ^ { 2 } } – c + 3 } \ le \ frac { 12 – \ left ( a + b + c \ right ) } { 9 } = 1 USDVậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi $ \ displaystyle a = b = c = 1 USD .
| Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện .Chứng minh rằng: $ \displaystyle \frac{a}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge \frac{3\sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải
Từ giả thiết $ \ displaystyle { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } = 1 $, ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { a } { { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } } + \ frac { b } { { { c } ^ { 2 } } + { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { c } { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } = \ frac { a } { 1 – { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { b } { 1 – { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { c } { 1 – { { c } ^ { 2 } } } $Xét $ \ displaystyle \ frac { a } { 1 – { { a } ^ { 2 } } } – \ frac { 3 \ sqrt { 3 } } { 2 } { { a } ^ { 2 } } = \ frac { 2 a – 3 \ sqrt { 3 } { { a } ^ { 2 } } \ left ( 1 – { { a } ^ { 2 } } \ right ) } { 2 \ left ( 1 – { { a } ^ { 2 } } \ right ) } = \ frac { a \ left ( \ sqrt { 3 } a + 2 \ right ) { { \ left ( \ sqrt { 3 } a-1 \ right ) } ^ { 2 } } } { 2 \ left ( 1 – { { a } ^ { 2 } } \ right ) } \ ge 0 USDTừ đó suy ra $ \ displaystyle \ frac { a } { 1 – { { a } ^ { 2 } } } \ ge \ frac { 3 \ sqrt { 3 } } { 2 } { { a } ^ { 2 } } $, chứng tỏ tựa như ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { b } { 1 – { { b } ^ { 2 } } } \ ge \ frac { 3 \ sqrt { 3 } } { 2 } { { b } ^ { 2 } } ; \, \, \, \ frac { c } { 1 – { { c } ^ { 2 } } } \ ge \ frac { 3 \ sqrt { 3 } } { 2 } { { c } ^ { 2 } } $Cộng những bất đẳng thức trên theo vế ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { a } { 1 – { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { b } { 1 – { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { c } { 1 – { { c } ^ { 2 } } } \ ge \ frac { 3 \ sqrt { 3 } \ left ( { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ right ) } { 2 } = \ frac { 3 \ sqrt { 3 } } { 2 } $Vậy bất đẳng thức trên được chứng tỏ. Dấu đẳng thức xẩy ra khi $ \ displaystyle a = b = c = \ frac { 1 } { \ sqrt { 3 } } $ .
3. Kĩ thuật đổi biến và phương pháp hệ số bất định
Bây giờ tất cả chúng ta sẽ bước sang một khoảng chừng khoảng trống mới với lớp bất đẳng thức đối xứng ba biến và kĩ thuật đổi biến theo hướng chuẩn hóa tích hợp với chiêu thức thông số bất định .
| Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực không dương. Chứng minh rằng:$ \displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$ |
Lời giải
Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho $ \ displaystyle a + b + c USD .Khi đó ta đặt $ \ displaystyle x = \ frac { 3 a } { a + b + c } ; \, \, y = \ frac { 3 b } { a + b + c } ; \, \, z = \ frac { 3 c } { a + b + c } $ thì được $ \ displaystyle x + y + z = 3 USD. Bất đẳng thức cần chứng tỏ trở thànhUSD \ displaystyle \ frac { x } { y + z } + \ frac { y } { z + x } + \ frac { z } { x + y } \ ge \ frac { 3 } { 2 } $Bài toán trên tương tự với bài toán : Cho a, b, c là những số thực dương thỏa mãn nhu cầu $ \ displaystyle a + b + c = 3 USD. Chứng minh rằng $ \ displaystyle \ frac { a } { b + c } + \ frac { b } { c + a } + \ frac { c } { a + b } \ ge \ frac { 3 } { 2 } $Cách đổi biến như trên ta gọi là chuẩn hóa .Bài toán qui về việc chứng tỏUSD \ displaystyle \ frac { a } { 3 – a } + \ frac { b } { 3 – b } + \ frac { c } { 3 – c } \ ge \ frac { 3 } { 2 } $Ta cần tìm thông số m để bất đẳng thức đúngUSD \ displaystyle \ frac { a } { 3 – a } \ ge \ frac { 1 } { 2 } + m \ left ( a-1 \ right ) \ Leftrightarrow \ frac { 3 \ left ( a-1 \ right ) } { 2 \ left ( 3 – a \ right ) } \ ge m \ left ( a-1 \ right ) USDDễ dàng Dự kiến $ \ displaystyle m = \ frac { 3 } { 4 } USD. Ta chứng tỏ bất đẳng thức với m như vậy thì luôn đúngUSD \ displaystyle \ frac { a } { 3 – a } \ ge \ frac { 3 a – 1 } { 4 } \ Leftrightarrow \ frac { 3 { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 \ left ( 3 – a \ right ) } \ ge 0 USDĐiều này hiển nhiên đúng .Hoàn toàn tựa như ta được $ \ displaystyle \ frac { b } { 3 – b } \ ge \ frac { 3 b – 1 } { 4 } ; \, \, \ frac { cb } { 3 – c } \ ge \ frac { 3 c – 1 } { 4 } $Cộng theo vế những bất đẳng thức trên ta được $ \ displaystyle \ frac { a } { 3 – a } + \ frac { b } { 3 – b } + \ frac { c } { 3 – c } \ ge \ frac { 3 } { 2 } $Vậy bất đẳng thức được chứng tỏ .
| Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng$ \displaystyle \frac{{{\left( b+c-a \right)}^{2}}}{2{{a}^{2}}+{{\left( b+c \right)}^{2}}}+\frac{{{\left( a+c-b \right)}^{2}}}{2{{b}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}}+\frac{{{\left( a+b-c \right)}^{2}}}{2{{c}^{2}}+{{\left( b+a \right)}^{2}}}\ge \frac{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$ |
Lời giải
Tương tự như bài toán trên ta hoàn toàn có thể chọn $ \ displaystyle a + b + c = 3 USD. Khi đó bất đẳng thức cần chứng tỏ tương tự vớiUSD \ displaystyle \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 a \ right ) } ^ { 2 } } } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } + \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 b \ right ) } ^ { 2 } } } { { { b } ^ { 2 } } – 2 b + 3 } + \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 c \ right ) } ^ { 2 } } } { { { c } ^ { 2 } } – 2 c + 3 } \ ge { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } $Ta cần xác lập thông số m để bất đẳng thức sau là đúngUSD \ displaystyle \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 a \ right ) } ^ { 2 } } } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } \ ge { { a } ^ { 2 } } + m \ left ( a-1 \ right ) USDTa lại cóUSD \ displaystyle \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 a \ right ) } ^ { 2 } } } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } – { { a } ^ { 2 } } = – \ frac { \ left ( a-1 \ right ) \ left ( a + 3 \ right ) \ left ( { { a } ^ { 2 } } – 4 a + 6 \ right ) } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } $Từ đây thuận tiện Dự kiến với $ \ displaystyle m = – 6 $ thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậyUSD \ displaystyle \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 a \ right ) } ^ { 2 } } } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } \ ge { { a } ^ { 2 } } – 6 \ left ( a-1 \ right ) \ Leftrightarrow \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 6 – a \ right ) a } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } \ ge 0 USDĐiều này hiển nhiên đúng do $ \ displaystyle a \ in ( 0,3 ) USD .Hoàn toàn tương tự như ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 b \ right ) } ^ { 2 } } } { { { b } ^ { 2 } } – 2 b + 3 } \ ge { { b } ^ { 2 } } – 6 \ left ( b-1 \ right ) ; \, \, \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 c \ right ) } ^ { 2 } } } { { { c } ^ { 2 } } – 2 c + 3 } \ ge { { c } ^ { 2 } } – 6 \ left ( c-1 \ right ) USDCộng theo vế những bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 a \ right ) } ^ { 2 } } } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 3 } + \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 b \ right ) } ^ { 2 } } } { { { b } ^ { 2 } } – 2 b + 3 } + \ frac { 2 { { \ left ( 3-2 c \ right ) } ^ { 2 } } } { { { c } ^ { 2 } } – 2 c + 3 } \ ge { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } $Vậy bất đẳng thức được chứng tỏ. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \ displaystyle a = b = c USD .
| Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:$ \displaystyle \frac{a\left( b+c \right)}{{{\left( b+c \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{b\left( c+a \right)}{{{\left( c+a \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{c\left( a+b \right)}{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}$ |
Lời giải
Tương tự như bài toán trên ta hoàn toàn có thể chọn $ \ displaystyle a + b + c = 3 USD. Khi đó bất đẳng thức cần chứng tỏ tương tự vớiUSD \ displaystyle \ frac { a \ left ( 3 – a \ right ) } { 9-6 a + 2 { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { b \ left ( 3 – b \ right ) } { 9-6 b + 2 { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { c \ left ( 3 – c \ right ) } { 9-6 c + 2 { { c } ^ { 2 } } } \ le \ frac { 6 } { 5 } $Tương tự như trên ta thuận tiện tìm ra bất đẳng thức phụ sau :USD \ displaystyle \ frac { a \ left ( 3 – a \ right ) } { 9-6 a + 2 { { a } ^ { 2 } } } \ le \ frac { 21 + 9 a } { 25 } \ Leftrightarrow 0 \ le \ frac { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 18 a + 9 \ right ) } { 25 \ left ( 9-6 a + 2 { { a } ^ { 2 } } \ right ) } $Tưng tự ta được $ \ displaystyle \ frac { b \ left ( 3 – b \ right ) } { 9-6 b + 2 { { b } ^ { 2 } } } \ le \ frac { 21 + 9 b } { 25 } ; \, \, \ frac { c \ left ( 3 – c \ right ) } { 9-6 c + 2 { { c } ^ { 2 } } } \ le \ frac { 21 + 9 c } { 25 } $Cộng theo vế những bất đẳng thức trên ta đượcUSD \ displaystyle \ frac { a \ left ( 3 – a \ right ) } { 9-6 a + 2 { { a } ^ { 2 } } } + \ frac { b \ left ( 3 – b \ right ) } { 9-6 b + 2 { { b } ^ { 2 } } } + \ frac { c \ left ( 3 – c \ right ) } { 9-6 c + 2 { { c } ^ { 2 } } } \ le \ frac { 6 } { 5 } $
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=b=c$.
Qua những gì vừa đọc chắc rằng những em đã hiểu thêm phần nào về chiêu thức thông số bất định phải không. Chúc những em học tốt .Tải tài liệu về để xem cụ thể .Tin tức – Tags: bất đẳng thức, bđt, hệ số bất định
Source: https://swing.com.vn
Category: Wiki
